時(shí)域是描述數學(xué)函數或物理信號對時(shí)間的關(guān)系。例如一個(gè)信號的時(shí)域波形可以表達信號隨著(zhù)時(shí)間的變化。 若考慮離散時(shí)間，時(shí)域中的函數或信號，在各個(gè)離散時(shí)間點(diǎn)的數值均為已知。若考慮連續時(shí)間，則函數或信號在任意時(shí)間的數值均為已知。 在研究時(shí)域的信號時(shí)，常會(huì )用示波器將信號轉換為其時(shí)域的波形。
頻域frequency domain 是描述信號在頻率方面特性時(shí)用到的一種坐標系。對任何一個(gè)事物的描述都需要從多個(gè)方面進(jìn)行，每一方面的描述僅為我們認識這個(gè)事物提供部分的信息。例如，眼前有一輛汽車(chē)，我可以這樣描述它方面1：顏色，長(cháng)度，高度。方面2：排量，品牌，價(jià)格。而對于一個(gè)信號來(lái)說(shuō)，它也有很多方面的特性。如信號強度隨時(shí)間的變化規律（時(shí)域特性），信號是由哪些單一頻率的信號合成的（頻域特性）
時(shí)域time domain
在分析研究問(wèn)題時(shí)，以時(shí)間作基本變量的范圍。
時(shí)域是描述數學(xué)函數或物理信號對時(shí)間的關(guān)系。例如一個(gè)信號的時(shí)域波形可以表達信號隨著(zhù)時(shí)間的變化。
若考慮離散時(shí)間，時(shí)域中的函數或信號，在各個(gè)離散時(shí)間點(diǎn)的數值均為已知。若考慮連續時(shí)間，則函數或信號在任意時(shí)間的數值均為已知。
在研究時(shí)域的信號時(shí)，常會(huì )用示波器將信號轉換為其時(shí)域的波形。
時(shí)域是真實(shí)世界，是惟一實(shí)際存在的域。因為我們的經(jīng)歷都是在時(shí)域中發(fā)展和驗證的，已經(jīng)習慣于事件按時(shí)間的先后順序地發(fā)生。而評估數字產(chǎn)品的性能時(shí)，通常在時(shí)域中進(jìn)行分析，因為產(chǎn)品的性能最終就是在時(shí)域中測量的。如下圖2.1所示的時(shí)鐘波形。
時(shí)鐘波形
圖2.1 典型的時(shí)鐘波形
由上圖可知，時(shí)鐘波形的兩個(gè)重要參數是時(shí)鐘周期和上升時(shí)間。圖中標明了1GHz時(shí)鐘信號的時(shí)鐘周期和10-90上升時(shí)間。下降時(shí)間一般要比上升時(shí)間短一些，有時(shí)會(huì )出現更多的噪聲。
時(shí)鐘周期就是時(shí)鐘循環(huán)重復一次的時(shí)間間隔，通常用ns度量。時(shí)鐘頻率Fclock，即1秒鐘內時(shí)鐘循環(huán)的次數，是時(shí)鐘周期Tclock的倒數。
Fclock=1/Tclock
上升時(shí)間與信號從低電平跳變到高電平所經(jīng)歷的時(shí)間有關(guān)，通常有兩種定義。一種是10-90上升時(shí)間，指信號從終值的10%跳變到90%所經(jīng)歷的時(shí)間。這通常是一種默認的表達方式，可以從波形的時(shí)域圖上直接讀出。第二種定義方式是20-80上升時(shí)間，這是指從終值的20%跳變到80%所經(jīng)歷的時(shí)間。
時(shí)域波形的下降時(shí)間也有一個(gè)相應的值。根據邏輯系列可知，下降時(shí)間通常要比上升時(shí)間短一些，這是由典型CMOS輸出驅動(dòng)器的設計造成的。在典型的輸出驅動(dòng)器中，p管和n管在電源軌道Vcc和Vss間是串聯(lián)的，輸出連在這個(gè)兩個(gè)管子的中間。在任一時(shí)間，只有一個(gè)晶體管導通，至于是哪一個(gè)管子導通取決于輸出的高或低狀態(tài)。
頻域frequency domain在分析問(wèn)題時(shí)，以頻率作為基本變量。
頻域frequencydomain 是描述信號在頻率方面特性時(shí)用到的一種坐標系。對任何一個(gè)事物的描述都需要從多個(gè)方面進(jìn)行，每一方面的描述僅為我們認識這個(gè)事物提供部分的信息。例如，眼前有一輛汽車(chē)，我可以這樣描述它方面1：顏色，長(cháng)度，高度。方面2：排量，品牌，價(jià)格。而對于一個(gè)信號來(lái)說(shuō)，它也有很多方面的特性。如信號強度隨時(shí)間的變化規律（時(shí)域特性），信號是由哪些單一頻率的信號合成的（頻域特性）
頻域分析
頻域（頻率域）——自變量是頻率,即橫軸是頻率,縱軸是該頻率信號的幅度,也就是通常說(shuō)的頻譜圖。頻譜圖描述了信號的頻率結構及頻率與該頻率信號幅度的關(guān)系。
對信號進(jìn)行時(shí)域分析時(shí)，有時(shí)一些信號的時(shí)域參數相同，但并不能說(shuō)明信號就完全相同。因為信號不僅隨時(shí)間變化，還與頻率、相位等信息有關(guān)，這就需要進(jìn)一步分析信號的頻率結構，并在頻率域中對信號進(jìn)行描述。動(dòng)態(tài)信號從時(shí)間域變換到頻率域主要通過(guò)傅立葉級數和傅立葉變換實(shí)現。周期信號靠傅立葉級數，非周期信號靠傅立葉變換。
舉例
一個(gè)頻域分析的簡(jiǎn)例可以通過(guò)圖1：一個(gè)簡(jiǎn)單線(xiàn)性過(guò)程中小孩的玩具來(lái)加以說(shuō)明。該線(xiàn)性系統包含一個(gè)用手柄安裝的彈簧來(lái)懸掛的重物。小孩通過(guò)上下移動(dòng)手柄來(lái)控制重物的位置。
任何玩過(guò)這種游戲的人都知道，如果或多或少以一種正弦波的方式來(lái)移動(dòng)手柄，那么，重物也會(huì )以相同的頻率開(kāi)始振蕩，盡管此時(shí)重物的振蕩與手柄的移動(dòng)并不同步。只有在彈簧無(wú)法充分伸長(cháng)的情況下，重物與彈簧會(huì )同步運動(dòng)且以相對較低的頻率動(dòng)作。
隨著(zhù)頻率愈來(lái)愈高，重物振蕩的相位可能更加超前于手柄的相位，也可能更加滯后。在過(guò)程對象的固有頻率點(diǎn)上，重物振蕩的高度將達到最高。過(guò)程對象的固有頻率是由重物的質(zhì)量及彈簧的強度系數來(lái)決定的。
當輸入頻率越來(lái)越大于過(guò)程對象的固有頻率時(shí)，重物振蕩的幅度將趨于減少，相位將更加滯后（換言之，重物振蕩的幅度將越來(lái)越少，而其相位滯后將越來(lái)越大）。在極高頻的情況下，重物僅僅輕微移動(dòng)，而與手柄的運動(dòng)方向恰恰相反。
Bode圖
所有的線(xiàn)性過(guò)程對象都表現出類(lèi)似的特性。這些過(guò)程對象均將正弦波的輸入轉換為同頻率的正弦波的輸出，不同的是，輸出與輸入的振幅和相位有所改變。振幅和相位的變化量的大小取決于過(guò)程對象的相位滯后與增益大小。增益可以定義為“經(jīng)由過(guò)程對象放大后，輸出正弦波振幅與輸入正弦波振幅之間的比例系數”，而相位滯后可以定義為“輸出正弦波與輸入正弦波相比較，輸出信號滯后的度數”。
與穩態(tài)增益K值不同的是，“過(guò)程對象的增益和相位滯后”將依據于輸入正弦波信號的頻率而改變。在上例中，彈簧－重物對象不會(huì )大幅度的改變低頻正弦波輸入信號的振幅。這就是說(shuō)，該對象僅有一個(gè)低頻增益系數。當信號頻率靠近過(guò)程對象的固有頻率時(shí)，由于其輸出信號的振幅要大于輸入信號的振幅，因此，其增益系數要大于上述低頻下的系數。而當上例中的玩具被快速搖動(dòng)時(shí)，由于重物幾乎無(wú)法起振，因此該過(guò)程對象的高頻增益可以認為是零。
過(guò)程對象的相位滯后是一個(gè)例外的因素。由于當手柄移動(dòng)得非常慢時(shí)，重物與手柄同步振蕩，所以，在以上的例子中，相位滯后從接近于零的低頻段輸入信號就開(kāi)始了。在高頻輸入信號時(shí)，相位滯后為“-180度”，也就是重物與手柄以相反的方向運動(dòng)（因此，我們常常用‘滯后180度’來(lái)描述這類(lèi)兩者反向運動(dòng)的狀況）。
Bode圖譜表現出彈簧－重物對象在0.01-100弧度/秒的頻率范圍內，系統增益與相位滯后的完整頻譜圖。這是Bode圖譜的一個(gè)例子，該圖譜是由貝爾實(shí)驗室的Hendrick Bode于1940s年代發(fā)明的一種圖形化的分析工具。利用該工具可以判斷出，當以某一特定頻率的正弦波輸入信號來(lái)驅動(dòng)過(guò)程對象時(shí)，其對應的輸出信號的振動(dòng)幅度和相位。欲獲取輸出信號的振幅，僅僅需要將輸入信號的振幅乘以“Bode圖中該頻率對應的增益系數”。欲獲取輸出信號的相位，僅僅需要將輸入信號的相位加上“Bode圖中該頻率對應的相位滯后值”。
傅立葉定理
在過(guò)程對象的Bode圖中表現出來(lái)的增益系數和相位滯后值，反映了系統的非常確定的特征，對于一個(gè)有豐富經(jīng)驗的控制工程師而言，該圖譜將其需要知道的、有關(guān)過(guò)程對象的一切特性都準確無(wú)誤的告訴了他。由此，控制工程師運用此工具，不僅可以預測“系統未來(lái)對于正弦波的控制作用所產(chǎn)生的系統響應”，而且能夠知道“系統對任何控制作用所產(chǎn)生的系統響應”。
傅立葉定理使得以上的分析成為可能，該定理表明任何連續測量的時(shí)序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無(wú)限疊加。數學(xué)家傅立葉在1822年證明了這個(gè)著(zhù)名的定理，并創(chuàng )造了為大家熟知的、被稱(chēng)之為傅立葉變換的算法，該算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來(lái)計算不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。
從理論上說(shuō)，傅立葉變換和Bode圖可以結合在一起使用，用以預測當線(xiàn)性過(guò)程對象受到控制作用的時(shí)序影響時(shí)產(chǎn)生的反應。詳見(jiàn)以下：
1）利用傅立葉變換這一數學(xué)方法，把提供給過(guò)程對象的控制作用，從理論上分解為不同的正弦波的信號組成或者頻譜。
2）利用Bode圖可以判斷出，每種正弦波信號在經(jīng)由過(guò)程對象時(shí)發(fā)生了那些變化。換言之，在該圖上可以找到正弦波在每種頻率下的振幅和相位的改變。
3）反之，利用反傅立葉變換這一方法，又可以將每個(gè)單獨改變的正弦波信號轉換成一個(gè)信號。
既然反傅立葉變換從本質(zhì)上說(shuō)，也是一種累加處理，那么過(guò)程對象的線(xiàn)性特征將會(huì )確保－“在第一步中計算得到的各種理論正弦波”所產(chǎn)生單獨作用的集合，應該等效于“各不同正弦波的累加集合”共同產(chǎn)生的作用。因此，在第三步計算得到的總信號，將可以代表“當所提供的控制作用輸入到過(guò)程對象時(shí)，過(guò)程對象的實(shí)際值”。
請注意，在以上這些步驟中，沒(méi)有哪個(gè)點(diǎn)不是由畫(huà)在圖上的控制器產(chǎn)生的單獨正弦波構成。所有這些頻域方面的分析技術(shù)都是概念性的。這是一種方便的數學(xué)方法，運用傅立葉變換（或者緊密相關(guān)的拉普拉斯變換），將時(shí)域信號轉換為頻域信號，然后再用Bode圖或其他一些頻域分析工具來(lái)解決手頭的一些問(wèn)題，最后再用反傅立葉變換將頻域信號轉換為時(shí)域信號。
絕大多數可用此方法解決的控制設計問(wèn)題，也可以在時(shí)域內通過(guò)直接的操控來(lái)解決，但是對于計算而言，利用頻域的方法通常更簡(jiǎn)單一些。在上例中，就是用乘法和減法來(lái)計算過(guò)程實(shí)際值的頻譜，而該過(guò)程實(shí)際值是通過(guò)對給定的控制作用進(jìn)行傅立葉變換，爾后又對照Bode圖分析而得到的。
三個(gè)正弦波
將所有的正弦波進(jìn)行正確的累加，就會(huì )產(chǎn)生如傅立葉變換所預示的那類(lèi)形狀的信號。當有時(shí)這一現象并不直觀(guān)，舉個(gè)例子可能有助于理解。
請再次想想上面那個(gè)例子中小孩的重物－彈簧玩具，操場(chǎng)上的蹺蹺板，以及位于外部海洋上的船。設想這艘船以頻率為w和幅度為A的正弦波形式在海面上起起落落，我們同時(shí)再假設蹺蹺板也以頻率為3w和幅度為A/3的正弦波形式在振蕩，并且小孩以頻率為5w和幅度為A/5的正弦波形式在搖動(dòng)玩具?！龔垎为毜恼也úㄐ螆D’已經(jīng)顯示出，如果我們將三個(gè)不同的正弦波運動(dòng)進(jìn)行分別觀(guān)察的話(huà)，每個(gè)正弦波運動(dòng)將會(huì )體現出的形式。
波的疊加
現在假設小孩坐在蹺蹺板上，而蹺蹺板又依次固定在輪船的甲板上。如果這三者單獨的正弦波運動(dòng)又恰巧排列正確的話(huà)，那么，玩具所表現出的總體運動(dòng)就大約是一個(gè)方波－如圖4：三者合成的正弦波顯示的那樣。
以上并非一個(gè)非常確切的實(shí)際例子，但是卻明白無(wú)誤的說(shuō)明：基本頻率正弦波、振幅為三分之一的三倍頻率諧波、以及振幅為五分之一的五倍頻率諧波，它們波形的相加總和大約等于頻率為w、振幅為A的方波。甚至如果再加上振幅為七分之一的七倍頻率諧波、以及振幅為九分之一的九倍頻率諧波時(shí)，總波形會(huì )更像方波。其實(shí)，傅立葉定理早已說(shuō)明，當不同頻率的正弦波以無(wú)窮級數的方式無(wú)限累加時(shí)，那么由此產(chǎn)生的總疊加信號就是一個(gè)嚴格意義上的、幅度為A的方波。傅立葉定理也可以用來(lái)將非周期信號分解成正弦波信號的無(wú)限疊加。
通過(guò)求解微分方程分析時(shí)域性能是十分有用的，但對于比較復雜的系統這種辦法就比較麻煩。因為微分方程的求解計算工作量將隨著(zhù)微分方程階數的增加而增大。另外，當方程已經(jīng)求解而系統的響應不能滿(mǎn)足技術(shù)要求時(shí)，也不容易確定應該如何調整系統來(lái)獲得預期結果。從工程角度來(lái)看，希望找出一種方法，使之不必求解微分方程就可以預示出系統的性能。同時(shí)，又能指出如何調整系統性能技術(shù)指標。頻域分析法具有上述特點(diǎn),是研究控制系統的一種經(jīng)典方法,是在頻域內應用圖解分析法評價(jià)系統性能的一種工程方法。該方法是以輸入信號的頻率為變量，對系統的性能在頻率域內進(jìn)行研究的一種方法。頻率特性可以由微分方程或傳遞函數求得,還可以用實(shí)驗方法測定.頻域分析法不必直接求解系統的微分方程,而是間接地揭示系統的時(shí)域性能,它能方便的顯示出系統參數對系統性能的影響,并可以進(jìn)一步指明如何設計校正.這種分析法有利于系統設計，能夠估計到影響系統性能的頻率范圍。特別地，當系統中存在難以用數學(xué)模型描述的某些元部件時(shí)，可用實(shí)驗方法求出系統的頻率特性，從而對系統和元件進(jìn)行準確而有效的分析。
信號頻域分析
是采用傅立葉變換將時(shí)域信號x(t)變換為頻域信號X(f)，從而幫助人們從另一個(gè)角度來(lái)了解信號的特征。信號頻譜X(f)代表了信號在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時(shí)域信號波形更直觀(guān)，豐富的信息.
1822年，法國數學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導理論時(shí)發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數展開(kāi)為正弦級數的原理，奠定了傅里葉級數的理論基礎。
泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應用到電學(xué)中去，得到廣泛應用。
19世紀末，人們制造出用于工程實(shí)際的電容器。
進(jìn)入20世紀以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問(wèn)題的解決為正弦函數與傅里葉分析的進(jìn)一步應用開(kāi)辟了廣闊的前景。
在通信與控制系統的理論研究和工程實(shí)際應用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點(diǎn)。
“FFT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。
頻域分析是以輸入信號的頻率為變量，在頻率域，研究系統的結構參數與性能的關(guān)系, 揭示了信號內在的頻率特性以及信號時(shí)間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調制和頻分復用等重要概念。
頻域分析的優(yōu)點(diǎn)
頻域分析具有明顯的優(yōu)點(diǎn):無(wú)需求解微分方程，圖解(頻率特性圖)法,間接揭示系統性能并指明改進(jìn)性能的方向和易于實(shí)驗分析.可推廣應用于某些非線(xiàn)性系統（如含有延遲環(huán)節的系統）以及可方便設計出能有效抑制噪聲的系統。
頻域分析法包括分析系統的
1.頻率響應,它指系統對正弦輸入信號的穩態(tài)響應。
2.頻率特性,它指系統在不同頻率的正弦信號輸入時(shí)，其穩態(tài)輸出隨頻率而變化(ω由0變到∞)的特性。
3.幅頻特性與相頻特性一起構成系統的頻率特性。
4.幅頻特性,它指的是當ω由0到∞變化時(shí)，|G(jω)|的變化特性，記為A(ω)。
5.相頻特性, 它指的是當ω由0到∞變化時(shí)，∠G(jω)的變化特性稱(chēng)為相頻特性，記為?(ω)。
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